Тодор Генчев
Обикновени диференциални уравнения

Записът е непълен.

Автор
Тодор Генчев
Заглавие
Обикновени диференциални уравнения
Тип
Учебник
Националност
Българска
Език
български
Поредност на изданието
Трето стереотипно издание
Категория
Учебна литература

Редактор
Грозданка Б. спасова
Художник
Пенчо Мутафчиев
Технически редактор
Емилия Дончева
Рецензент
Гено Д. Дачев

Издател
Университетско издателство „Св. Климент Охридски“
Град на издателя
София
Година на издаване
1999

Печатни коли
29,63
Издателски коли
27,55
Формат
59/84/16
Брой страници
476
Подвързия
Мека

ISBN
954-07-0658-0

Съдържание
Предговор към второто издание . . . 7
Из предговора към първото издание . . . 8
Основни означения . . . 10
Първа глава. Уравнения от вида у’ = F(х, у) . . . 11
. . . § 1. Увод . . . 11
. . . § 2. Основни дефиниции . . . 12
. . . § 3. Уравнения с разДелящи се променливи . . . 15
. . . § 4. Хомогенни уравнения . . . 28
. . . § 5. Линейни уравнения . . . 30
. . . § б. Уравнения на Бернули и Рикати . . . 32
. . . § 7. Уравнения)произхождащи от пълни диференциали. Интегриращ множител . . . 34
. . . § 8. Теорема за съществуване теорема на Пеано) . . . 42
. . . § 9. Теорема за единственост . . . 51
. . . §10. Непродължими решения . . . 53
. . . §11. Снопове на Пеано. Горни и долни решения . . . 58
Втора глава. Уравнения от вида F(x, у, у’) = 0 . . . 64
. . . § 1. Обикновени и особени точки. Основна теорема за редукция . . . 64
. . . § 2. Обвивки и особени решения . . . 73
. . . § 3. Уравнение на Клеро . . . 75
. . . § 4. Уравнение на Лагранж . . . 82
Трета глава. Линейни диференциални уравнения от 72-ти ред . . . 87
. . . § 1. Комплексни функции на реален аргумент . . . 87
. . . § 2. Линейни хомогенни уравнения . . . 91
. . . § 3. Формула на Лиувил . . . 96
. . . § 4. Линейни нехомогенни уравнения. Метод на Лагранж . . . 98
. . . § 5. Линейни уравнения с постоянни коефициенти . . . 102
. . . . . . 5.1. Случай на прости корени . . . 102
. . . . . . 5.2. Случай на многократни корени. Формула за отместване…. . . . 105
. . . . . . 5.3. Отделяне на реалните решения . . . 111
. . . § 6. Линейни нехомогенни уравнения с постоянни коефициенти. Квазиполиноми . . . 116
. . . § 7. Физически задачи, които водят до диференциални уравнения с постоянни коефициенти . . . 120
. . . § 8. Изследване на уравнението на хармоничния осцилатор . . . 124
. . . Допълнение: Диференциални уравнения, допускащи понижение на реда . . . 131
Четвърта глава. Нормални системи . . . 140
. . . § 1. Векторни функции на реален аргумент . . . 140
. . . § 2. Свеждане към нормални системи. Постановка на задачата на Коши . . . 145
. . . § 3. Основна теорема за съществуване и единственост . . . 147
. . . § 4. Непродължими решения. Теорема за компактите . . . 157
. . . § 5. Линейни системи . . . 163
. . . . . . 5.1. Теорема за съществуване и единственост . . . 163
. . . . . . 5.2. Хомогенни линейни системи . . . 166
. . . . . . 5.3. Нехомогенни системи. Метод на Лагранж . . . 172
. . . § 6. Първоначални сведения за линейните системи с постоянни кое\255фициенти . . . 175
. . . . . . 6.1. Метод на изключването . . . 175
. . . . . . 6.2. Отделяне на реалните решения . . . 183
. . . . . . 6.3. Линейни нехомогенни системи с постоянни коефициенти . . . 186
. . . § 7. Непрекъснатост спрямо параметри и начални условия . . . 188
. . . . . . 7.1. Локална теорема за непрекъснатост . . . 188
. . . . . . 7.2. Глобална теорема за непрекъснатост . . . 192
. . . . . . 7.3. Неравенство на Гронуол. Непрекъснатост спрямо началните условия . . . 195
. . . § 8. Диференцируемост спрямо параметри и начални условия . . . 199
Пета глава. Линейни системи с постоянни коефициенти . . . 207
. . . § 1. Сведния от линейната алгебра . . . 207
. . . . . . 1.1. Смяна на променливите . . . 207
. . . . . . 1.2. Матрици и линейни оператори . . . 208
. . . . . . 1.3. Смяна на базата . . . 215
. . . . . . 1.4. Жорданова канонична форма . . . 218
. . . . . . 1.5. Реална жорданова форма . . . 221
. . . § 2. Експонента на матрица . . . 226
. . . . . . 2.1. Дефиниция и основни свойства . . . 226
. . . . . . 2.2. Функционално уравнение за експонента . . . 231
. . . . . . 2.3. Основни случаи, когато експонентата се пресмята просто. . . . . 234
. . . § 3. Приложения . . . 240
. . . . . . 3.1. Уравнения с постоянни коефициенти още веднъж) . . . 240
. . . . . . 3.2. Рекурентни редици . . . 243
. . . . . . 3.3. Малки трептения . . . 247
. . . § 4. Линейни уравнения с периодични коефициенти теория на Флоке) . . . 249
. . . . . . 4.1. Логаритъм на матрица . . . 249
. . . . . . 4.2. Теорема на Флоке . . . 253
. . . . . . Допълнение към §4: Теорема за съществуване на реален логари\255тъм . . . 258
Шеста глава. Автономни системи . . . 264
. . . § 1. Фазово пространство. Кинематична интерпретация на решения\255та. Примери . . . 264
. . . § 2. Класификация на траекториите на автономните системи . . . 270
. . . § 3. Фазови портрети на линейните автономни системи в равнината. Класификация на особените точки . . . 274
. . . § 4. Еднопараметрични групи от трансформации. Фазов поток . . . 285
. . . . . . 4.1. Фазов поток . . . 285
. . . . . . 4.2. Локален поток . . . 289
. . . . . . 4.3. Формула на Лиувил . . . 290
. . . § 5. Инвариантни многообразия. Първи интеграли. Примери — сис\255тема на Лотка — Волтера . . . 298
. . . . . . 5.1. Инвариантни многообразия . . . 298
. . . . . . 5.2. Първи интеграли . . . 301
. . . . . . 5.3. Система на Лотка — Волтера . . . 306
. . . § 6. Някои от класическите приложения на първите интеграли . . . 312
. . . . . . 6.1. Изследване на общото уравнение на Нютон върху числовата права . . . 312
. . . . . . 6.2. Задача на Кеплер . . . 328
. . . . . . 6.3. Задача за двете тела . . . 337
. . . . . . 6.4. Още един поглед към миналото: задача за брахистохроната . . . 338
. . . . . . Допълнение към §6: Формули за периода на махалото . . . 352
. . . . . . Д1. Формула за периода като функция на амплитудата . . . 352
. . . . . . Д2. Формула за периода като функция на началната скорост . . . 355
. . . § 7. Действие на дифеоморфизъм върху векторно поле . . . 359
. . . . . . 7.1. Основна дефиниция . . . 359
. . . . . . 7.2. Теорема за изправяне на векторно поле . . . 367
. . . . . . 7.3. Понятие за класификация на автономните системи . . . 370
Седма глава. Частни диференциални уравнения от първи ред . . . 379
. . . § 1. Линейни частни диференциални уравнения от първи ред . . . 379
. . . . . . 1.1. Форма на общото решение . . . 379
. . . . . . 1.2. Задача на Коши . . . 387
. . . § 2. Квазилинейни уравнения . . . 392
. . . . . . 2.1. Характеристики . . . 392
. . . . . . 2.2. Задача на Коши . . . 395
. . . § 3. Общи нелинейни частни диференциални уравнения от първи ред . . . 400
. . . . . . 3.1. Конус на Монж. Характеристична система . . . 400
. . . . . . 3.2. Задача на Коши . . . 407
Осма глава. Устойчивост в смисъл на Ляпунов . . . 414
. . . § 1. Теорема за устойчивост по първо приближение . . . 414
. . . § 2. Директен метод на Ляпунов . . . 423
. . . . . . 2.1. Функция на Ляпунов . . . 423
. . . . . . 2.2. Теорема на Лагранж — Дирихле . . . 427
. . . . . . 2.3. Заключителни бележки . . . 430
. . . § 3. Орбитална устойчивост . . . 434
. . . . . . 3.1. Дефиниции и формулировки . . . 434
. . . . . . 3.2. Изображение на Поанкаре . . . 438
. . . . . . 3.3. Дискретни динамични системи . . . 441
. . . . . . 3.4. Доказателство на теоремите от т. 3.1 . . . 443
. . . § 4. Метод на малкия параметър . . . 449
. . . . . . 4.1. Структурна устойчивост на периодичните атрактори . . . 449
. . . . . . 4.2. Един важен случай на израждане . . . 452
. . . § 5. Теория на Поанкаре — Бендиксон . . . 458
. . . . . . 5.1. Гранични множества . . . 458
. . . . . . 5.2. Теорема на Поанкаре — Бендиксон . . . 467
Литература . . . 471
Предметен указател . . . 473

Въведено от
Еми
Създадено на
Обновено на

...

Сканирани страници